Maximum-norm stability of the finite element Stokes projection

We prove stability of the finite element Stokes projection in the product space W 1,∞(Ω) × L∞(Ω), i.e., the maximum norm of the discrete velocity gradient and discrete pressure are bounded by the sum of the corresponding exact counterparts, independently of the mesh-size. The proof relies on weighted L estimates for regularized Green’s functions associated with the Stokes problem and on a weighted infsup condition. The domain is a polygon or polyhedron with a Lipschitz-continuous boundary, satisfying suitable sufficient conditions on the inner angles of its boundary, so that the exact solution is bounded in W 1,∞(Ω)× L∞(Ω). The triangulation is shape-regular and quasi-uniform. The finite element spaces satisfy a super-approximation property, which is shown to be valid for commonly used stable finite element spaces. Résumé: Nous démontrons la stabilité dans W 1,∞(Ω) × L∞(Ω) de l’approximation par éléments finis du problème de Stokes, i.e., la norme du maximum du gradient de la vitesse et celle de la pression, calculés par des méthodes d’éléments finis usuelles pour discrétiser le problème de Stokes, sont bornées indépendemment du pas de la discrétisation. La démonstration est basée sur des estimations à poids dans L pour des fonctions de Green associées au problème de Stokes et sur une condition inf-sup à poids. Le domaine est un polygone ou un polyèdre à frontière Lipschitz dont les angles intérieurs satisfont des conditions suffisantes convenables pour assurer que la solution exacte est aussi bornée dans W 1,∞(Ω)× L∞(Ω). La triangulation est uniformément régulière.